Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

УРОК

Тема уроку. Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Мета:      сформувати поняття: «арифметична прогресія», «різниця арифметичної прогресії», рекурентної формули та з’ясувати основні властивості арифметичної прогресії. Навчитись: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, застосовувати рекурентну формулу арифметичної прогресії, а також використовувати її властивості.  Розвивати творчу і розумову діяльність учнів на уроці, самостійність, гнучкість мислення, здатність до оцінювальних дій, узагальнення, сприяти формуванню навичок колективної та самостійної роботи. Виховувати в учнів культуру математичного мовлення, прививати інтерес до предмету

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: презентація «Арифметична прогресія», плакати,

                                                індивідуальні картки.   

Математика – знаряддя для міркування,

 бо все, що є на небі, в душі, на Землі,

можна виразити в точному числі.
Річард Фейман           

Хід уроку

I. Організаційний етап (1 хв)

Перевірити  готовність учнів до уроку, налаштувати їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання (7 хв)

Для з'ясування рівня засвоєння учнями змісту понять по­переднього уроку роздати  тестові завдан­ня з наступною перевіркою і корекцією.

1. Числова послідовність – це функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел, або на множині перших n натуральних чисел.

2. a_n  - це n-ий член  послідовності, де n – номер цього члена послідовності.

3. Види числових послідовностей: скінченна або нескінченна, зростаюча або спадна.

4. Зростаючою називають послідовність, у якої кожний наступний її член, починаючи з другого, більший за попередній.

5. Способи задання числових послідовностей: 1) описом знаходження її членів, 2) таблицею, 3) графічно, 4) формулою n-го члена, 5) рекурентною формулою.

6. Рекурентна формула – це формула, що визначає будь – який член послідовності, починаючи з деякого, через попередні члени.

7.  Яким способом задана послідовність a_{n =} n² - 1 - формулою n-го члена.

8. Напишіть 2-ий член послідовності a_{n+1 =} 2a_n + 1, де a₁= 3  –  а₂=7.

III. Формулювання мети і завдань уроку. (3 хв)

Мотивація навчальної діяльності учнів

Тему сьогоднішнього уроку ми дізнаємося, розгадавши кросворд: (слайд 1)
1. Як називається графік квадратичної функції? (парабола)
2. Математичне твердження, справедливість якого доводиться. (теорема)
3. Упорядкована пара чисел, що задає положення точки на площині. (координата)
4. Наука, що виникла в глибоку давнину в Вавилоні та Єгипті, а учні починають її вивчати з 7 класу. (алгебра)
5. Лінія на площині, що задається рівнянням у = кх + b. (пряма)
6. Числовий проміжок. (інтервал)
7. Пропозиція, прийнята без доведення. (аксіома)
8. Результат віднімання. (різниця)
9. Розділ математики, що вивчає просторові відношення і форми та їх узагальнення. (геометрія)

Але не просто прогресія, а особливий її вид, а саме арифметична. (слайд 2)

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів (3 хв) (слайд 3)

1.     Дано скінченну послідовність: (х_п): 3; 0; -3; -6; -9; -12.
Укажіть:

1) перший, третій, шостий члени цієї послідовності; (а₁=3, а₃=-3, а₆=-12)

2) чи є ця послідовність зростаючою, спадною; (спадна)

3) формулу її п-го члена. (а_n=6-3n, де n<7)

2.     Послідовність (а_п) задана формулою а_п = 3п – 1. Укажіть:

1) а₁, а₂, а₃; (2, 5, 8)

2) номер члена, який дорівнює 26; (9)

3) чи є членом цієї послідовності число 47; 58? (так, ні)

V. Формування знань (8 хв)

Назад в історію (історична вставка)

Деякі учні нашого класу підготували нам цікаві факти про прогресії,  отож давайте їх послухаємо.

·        Поняття числової послідовності виникло і розвивалося задовго до створення вчення про функції. На зв'язок між прогресіями першим звернув увагу великий Архімед (бл. 287-212 рр.. до н.е.) Термін «прогресія» має латинське походження (progression, що значить «рух  уперед). Він був введений  римським автором Боецієм (VI в.). Цим терміном в математиці перш за все називали  будь-яку послідовність чисел, побудовану за законом, що дозволяє необмежено продовжувати цю послідовність за одним напрямком.  (слайд 4)

·        Відомості, пов'язані з прогресіями, вперше зустрічаються у документах, що дійшли до нас із Стародавньої Греції. Вже в V ст. до н. е. греки знали наступні прогресії і їх суми: 1 +2+3+...+ n = n(n+1)/2,  2+4+6+...+2n = n(n+1)

(слайд 5)

·        У XVIII ст. в англійських підручниках з'явилися позначення арифметичної і геометричної прогресій: арифметична, геометричн. Задачі з використанням арифметичної і геометричної прогресій зустрічаються ще у II тисячоріччі до н.е. Вони записані на єгипетських папірусах Рінда, який зберігається у Британському музеї в Лондоні, а другий в Москві   (слайд 6)

·        Прогресії в літературі: Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями! Так, згадаємо рядки з "Євгенія Онєгіна".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

Ямб - це віршований розмір з наголосом на парних складах 2, 4, 6; 8 ... Номери ударних складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і різницею прогресії 2.
Хорей - це віршований розмір з наголосом на непарних складах вірша. Номери ударних складів утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5; 7 ... (слайд 7)

·        Наприклад: «ГарЯчий дЕнь — і врАз достИгне жИто…  » Олна Теліга Прогресія: 2; 4; 6; 8; 10...

«Я пропАв, як звІр в загОні» Б.Л. Пастернак

Прогресія: 1,3,5,7… (слайд 8)

План вивчення нового матеріалу

1.     Означення арифметичної прогресії. Різниця арифметичної про­гресії.

Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попе­редньому члену, до якого додається те саме число. (слайд 9)

Це число називають різницею арифметичної прогресії. 

Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія.

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної про­гресії. (слайд 10)

Якщо в арифметичній прогресії різниця d>0, то прогресія є зростаючою.

Якщо в арифметичній прогресії різниця d<0, то прогресія є спадною.

Якщо в арифметичній прогресії різниця d=0, то прогресія є постійною. (слайд 11)

2.     Формула загального члена арифметичної прогресії

  

a₂ =a₁ +d

a₃ =a₂+d=a₁+2d

a₄=a₃+d=a₁+3d

………………

…………………..

a_n=a_n-1+d=a₁+(n-1)d

 a_n= a₁+(n-1)d

 Рекурентна формула арифметичної прогресії.

а_п+1 = а_п + d,   d — різниця арифметичної прогресії.

d = a_п+1 – а_п. (слайд 12)

3.     Властивості арифметичної прогресії:

1) характеристична властивість арифметичної прогресії;

a_n= (a_n-1+a_n+1)/2, де п >1

а_п — п-й член арифметичної прогресії, є середнім арифме­тичним двох сусідніх за ним членів. (слайд 13)

2) сума членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців;

Якщо (а_п) — арифметична прогресія (скінченна), то:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. (слайд 14)

VI. Формування вмінь (19 хв)

1.     «Перевір себе!» (слайд 15)
Які з послідовностей є арифметичними прогресіями?
3, 6, 9, 12, ... .. (d=3)
5, 12, 18, 24, 30, ... ..(ні)
7, 14, 28, 35, 49, .... (ні)
5, 15, 25, ...., 95 .... (d=10)
1000, 1001, 1002, 1003, .... (d=1)
1, 2, 4, 7, 9, 11 ... .. (ні)
5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, .... (d=-1)

2.      «Обчисли усно» (слайд 16)
Знайти різницю арифметичної прогресії:
1; 5; 9 ... ... ... (d=4)
105; 100 .... (d=5)
-13; -15; -17 ... ... (d=-2)
11;а₂; 19, .... (d=4)

3.      «Виріши завдання » (слайд 17)
Між числами 6 і 21 вставте 4 числа так, щоб разом з даними числами вони утворили арифметичну прогресію.
Рішення:

a₁=6,  a₆=21

a₆=a₁+5d

21=6+5d

d=3

6, 9, 12, 15, 18, 21.

Записано на дошці:

4.      Знайдіть третій член і різницю арифметичної прогресії:
1) 2; 7; 12; ...; (12; 5)    2) 6; 5,5; 5; ...; (5; -0,5)

      3) 0,7; 1; 1,3; ...;  (1,3; 0,3)   4) -9; -7; -5; ... . (-5; 2)

5.     Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (а_п), у якої:

1) a₁ = 5, d = 2; (5,7,9,11)      2) a₁ = 7, d = -2. (7,5,3,1)

6.     Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії:

1) 7; 11; 15; ...;  (19)     2) 13; 10; 7; ... . (4)

7.     Знайдіть пропущений член арифметичної прогресії:

1) 1; а₂; 7; а₄; ...;  (4,10)         2) a₁; 5; 3; ... . (7)

    Знаючи формули арифметичної прогресії, можна вирішити багато цікавих задач літературного, історичного і практичного змісту. (слайд 18)

8.     Цікав властивість арифметичної прогресії: (слайд 19)

Дано дев’ять чисел:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Які утворюють арифметичну прогресію. Крім того, у цих  чисел цікава здатність: вони розміщуються в дев'яти клітинах квадрата 3х3 так, що утворюється магічний квадрат з константою, що дорівнює 33.

Утворіть з цих чисел такий квадрат.
Чи знаєте ви, що таке магічний квадрат? (слайд 20)

Квадрат, що складається з 9 клітин, в нього вписують числа, так щоб сума чисел по вертикалі, горизонталі,  діагоналі була одним і тим же числом - constanta.

9	19	5
7	11	15
17	3	13

Зауваження про арифметичній прогресії саме по собі дуже цікаво. Справа в тому, що з кожних дев'яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

9.     (слайд 21) Курс повітряних ванн починають з 15 хв. в перший день і збільшують час цієї процедури в кожен наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їх максимальної тривалості 1 годину 45 хвилин?

Розв’язання: 1год 45 хв = 105 хв, а₁=15, d=10, а_n=105, 105=15+10(n-1), n=10.

       Відповідь: 10 днів.

10.                        (слайд 22)Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)² = х² + (х + d)².

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х² – 2хd – 3d = 0;

х₁ = 3d;      х₂ = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

11.                        (слайд 23) При яком значенні х  числа 4х+5, 7х–1, х²+2 будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Розв’язання За характеристичною властивістю:

7x-1= (4x+5+x²+2)/2;  14x-2=x²+4x+7; x²-10x+9=0; x₁=1; x₂=9;

а)  х = 1;    9;6;3…  b) x = 9;    41;62;83…

13. Самостійна робота: (слайд 24)

1) а₁ = 5, d = 3, а₇ - ? (23)

2) а₄ = 11, d = - 2, а₁-? (17)

3) а₄ = 12,5, а₆ = 17,5  а₅ - ? (15)

4) а₁ = -3, а₂ = 4, а₁₆ - ? (102)

5) а₁ = 4, а₇ = -8, d -? (-2)

6) а₇ = -5, а₃₂ = 70, а₁ - ? (-23)

Ось ми і розглянули деякі факти про арифметичну прогресію та спробували їх застосовувати на практиці, давайте ж дізнаємось іще про одну цікаву властивість арифметичної прогресії, а також про того хто її відкрив: (слайд 25)

Карл Фрідріх Гаусс народився 30 квітня 1777р. у м. Брауншвейгу – одному з німецьких князівств, які на той час ще не були об’єднані в єдину централізовану державу. Батько Карла спочатку працював слюсарем, а згодом став садівником. Мати Карла була дочкою каменяра; від природи, розумною, розважливою, доброю і веселою. Карл був її єдиною дитиною, і вона безмежно та щиро любила його. Син відповідав їй такою самою гарячою любов’ю. Від матері він успадкував розважливість і м’яку вдачу.
    Читати і писати Карл навчився сам: йому досить було знати лише кілька букв, підказаних матір’ю, щоб цілком оволодіти технікою читання.
    Вже в ранньому дитинстві у хлопчика виявились особливі здібності до математики. Пізніше він сам жартома говорив: «Я навчився рахувати раніше, ніж розмовляти». Розповідають про такий випадок. Якось до батька Карла зібралися товариші по роботі, щоб розподілити зароблені за тиждень гроші. Тут же був і трирічний Карл. Коли батько закінчив розрахунки, які він проводив уголос, щоб усі чули їх, і оголосив наслідки, Карл вигукнув: «Татку, ти помилився!». Присутні були вражені заявою малої дитини, але батько підрахував усе спочатку. Коли він назвав інше число (а першого разу він справді помилився), Карл радісно вигукнув: «Тепер правильно!».
    Перші два роки навчання в народній школі Карл нічим не вирізнявся серед товаришів, його виняткові здібності до арифметики виявилися у третьому класі.
    Якось учитель дав учням досить складне завдання з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв’язав задачу. Коли вчитель проглянув розв’язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Ідею малого Гауса знаходження суми деякої кількості натуральних послідовних чисел можна використати для знаходження суми членів будь-якої арифметичної прогресії.
S=1+2+3+…+99+100
S=100+99+...+2+1
____________________
2 S=101*100
S=(101*100)/2=5050
    За допомогою аналогічних міркувань можна знайти суму перших членів будь-якої арифметичної послідовності
Sn=(а₁+а_n)* n/2

Як відомо ще за часів Евкліда (ІІІ ст.до н.е.) задача про поділ кола була предметом досліджень багатьох учених, причому ще тоді було доведено, що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати правильні многокутники.    Карл Гаусс довів, що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати такий правильний n-кутник, число сторін якого виражається формулою n=22r+1, де r – довільне ціле число. Побудови трикутника і п’ятикутника були відомі ще давнім грекам, але Гаусс першим здійснив побудову правильного 17-кутника.
    Дуже важливе значення значення має доведена Гауссом у 1799р. основна теорема алгебри про існування кореня алгебраїчного рівняння. На підставі цієї теореми доведено таку властивість рівнянь: «Алгебраїчне рівняння має таку кількість коренів (дійсних чи комплексних), скільки одиниць у показнику його степеня»За працю, в якій доведено ці теореми, Гаусс дістав звання приват-доцента.
   

VII. Підсумки уроку (3 хв)

Контрольні запитання

1.     Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади. (Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попе­редньому члену, до якого додається те саме число. Наприклад: натуральні числа, парні числа)

2.     Як знайти різницю арифметичної прогресії? (від деякого члена відняти попередній d = a_п+1 – а_п. )

3.     Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.  (а_п — п-й член арифметичної прогресії, є середнім арифме­тичним двох сусідніх за ним членів; Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.)

VIII. Домашнє завдання (1 хв) (слайд 26)

§10 п. 10.2 ст.217

     № 471, 473, 475, 476.

арифметична прогресія from olgasamiltnko7