ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ

Тема: Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків.

Мета:

•         узагальнити та систематизувати  знання про диференціальне числення та закріпити уміння і навички їх застосування для побудови графіків функцій; поглибити та розширити діапазон знань учнів з теми; 

•         формувати навички та уміння  практичного  використання набутих теоретичних знань, вчити робити облік  рівня знань  своїх навчальних досягнень, формувати зацікавленість у результатах спільної роботи; розвивати творчі здібності і логічне мислення учнів при розв’язуванні практичних задач; формувати організаційну, соціально-особистісну, інформаційну, життєтворчу компетентності;

•         виховувати прагнення до знань, інтерес  до математики; показати важливість математичних знань у повсякденному житті , виховувати почуття взаємодопомоги, взаємопідтримки.

Тип уроку: урок закріплення знань, умінь та навичок учнів.

Форма уроку: урок - практикум.

Методи навчання: частково-пошуковий.

Прийоми: теоретичний бліц - турнір «Скринька пам’яті», «математична естафета», графічний диктант «Так чи ні?», дидактична гра «Шифрувальники»,  диференційована самостійна робота, «Пінг-понг», «Скринька побажань».

Засоби навчання:  картки із графіками,  аркуші оцінювання, картки для усного рахунку, вислови,  учительська презентація.

Обладнання: комп’ютер, проектор, екран, креслярські приладдя, смайлики.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Сьогодні проведемо з вами урок-практикум під назвою “Компетенція”. Виникає запитання: а що ж це означає?

Компетенція – коло питань, у яких дана особа має знання, досвід.

Компетентний (з латинської - “здатний”, “відповідний”) - це той, хто вміє застосовувати набуті знання та досвід.

Усе людське життя — це не що інше, як бажання досягти успіху в розв'язуванні все нових питань та проблем. Для цього,звичайно, необхідно бути розумною, освіченою, компетентною людиною. Стати такою можна тільки тоді, коли розум не знає ні хвилини спокою, а силу розумові додають вправи і постійний пошук.

Наш сьогоднішній урок — теж пошук, пошук шляхів досягнення успіху, бо тільки компетентна людина може досягти успіху.

Я сподіваюсь, що сьогодні ми з вами успішно попрацюємо і всі будуть задоволені від зустрічі на цьому уроці.

Як досягти успіху? Рецепти досягнення успіху ви і одержите на сьогоднішньому уроці. Тому пропоную вам не тільки попрацювати з математичним матеріалом, а й дати відповідь на запитання: що саме допомогло вам досягти успіху та поповнити свій життєвий досвід подолання труднощів.

Девізом сьогоднішнього уроку буде висловлювання  Віктора Гюго « Розум людський має три ключи, які все відкривають: знання, думка,уява.

    Досягти успіху можна тільки тоді, коли є певна мета. Мета сьогоднішнього уроку для вас  така: ви повинні показати раціональне використання свого розуму при удосконаленні своїх компетенцій з теми, назва якої зашифрована у цьому ребусі.

 Учитель: Шановні одинадцятикласники! Ви правильно визначили тему уроку.

Для сьогоднішнього уроку я до кожного етапу уроку підібрала вислів відомої людини. І починаємо ми з вислову Конфуція « Від того настрою, з яким ви вступаєте в день, або в якусь справу залежать ваші успіхи, а можливо, і невдачі».Я бажаю вам розпочати урок з гарним настроєм і отримати від нього задоволення і гарні результати.

План уроку та критерії оцінювання  записані в аркуші оцінювання, який є в кожного учня  на парті. В ньому є таблиця, в яку кожен учень вписує своє прізвище та ім’я. Також у таблиці записано скількома балами оцінюється завдання кожного етапу уроку.

Учні самостійно занотовують кількість набраних балів за кожен вид роботи.

В кінці уроку учні підсумовують кількість набраних балів і оголошують свої результати.

Аркуш оцінювання:

Прізвище, ім’я учня       

Виконання домашнього завдання (2 бали)        

Теоретичний бліц-турнір (правильна відповідь – 1 бал)      

Усні вправи (правильна відповідь– 1 бал)          

Графічний диктант (правильна відповідь – 1 бал)       

Д/Г «Шифрувальники» (за шифрування – 1 бал,

                                           за розшифровку – 2 бали)          

           

Самостійна робота          (І-ІІ варіанти – 4 бали,

                                           ІІІ-ІV варіанти – 6 балів)               

           

Загальна кількість балів          

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

ІІІ Актуалізація знань, умінь та навичок.

1.     Теоретичний бліц-турнір «Скринька пам’яті». 

Вчитель дістає запитання, записані на аркушах,  зі скриньки і зачитує їх, учні відразу відповідають. Неправильні відповіді виправляють самі учні (і лише за необхідності – вчитель). За правильну відповідь вчитель дає кожному учневі картку з написом «Ти найрозумніший»,  учні виставляють у маршрутний лист кількість набраних балів.

 Для учнів зі слабкими знаннями використовується прийом «Незакінчене речення» .

Перелік запитань

            Що називається диференціюванням?

Диференціюванням називається знаходження похідної функції.

            Що називається похідною функції?

Похідною функції f у точці х0  називається число,яке дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, при умові, що приріст аргументу прямує до нуля.

            Чому дорівнює похідна сталої?          Сʹ=0

            Похідна Х?                                             Хʹ=1

            Похідна kX?                                          (kX)ʹ=k

            Похідна kX+b?                                      (kX+b)ʹ=k

            Похідна Хn?                                            (Хn)ʹ=nXn-1

            Похідна √Х?                                           (√(Х ))ʹ=1/(2√Х)

            Похідна 1/Х?                                              (1/Х )ʹ= -1/Х^2

             Що називається критичними точками функції?

Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує.

             Як знайти критичні точки функції?

Щоб знайти критичні точки функції, треба розв’язати рівняння: f  '(х) = 0.

             Ознака зростання функції.

Якщо для всіх Х з даного проміжку виконується рівність f  '(х)>0, то функція f  зростає на даному проміжку.

             Ознака спадання функції.

Якщо для всіх Х з даного проміжку виконується рівність f  '(х)<0, то функція f  спадає на даному проміжку.

             Які точки називаються точками екстремуму?

Точками екстремуму називаються точки максимуму і точки мінімуму функції.

             Ознака мінімуму функції.

Якщо при переході через точку Х функція переходить від спадання до зростання, то точка Х є точкою мінімуму функції.

             Ознака мінімуму функції.

Якщо при переході через точку Х похідна змінює знак з «-»  на «+», то точка Х є точкою мінімуму функції.

             Ознака максимуму функції.

Якщо при переході через точку Х функція переходить від зростання до спадання, то точка Х є точкою максимуму функції.

             Ознака максимуму функції.

Якщо при переході через точку Х похідна змінює знак з «+» на «-», то точка Х є точкою максимуму функції.

             Область визначення функції.

Область визначення функції – це множина значень, яких набуває аргумент.

             Яка функція називається парною?

Функція називається парною, якщо при всіх Х із області визначення функції виконується рівність:

f  (-х) = f  (х).

             Яка функція називається непарною?

Функція називається непарною, якщо при всіх Х із області визначення функції виконується рівність:         f  (-х) = - f  (х).

             Властивість графіка парної функції.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат: ОУ.

             Властивість графіка непарної функції.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат: точки (0; 0).

             Що називається нулями функції?

Нулями функції називаються абсциси точок перетину графіка з віссю ОХ.

             Як знайти нулі функції?

Щоб знайти нулі функції, треба розв’язати рівняння:  f  (х) = 0

             Як знайти координати точки перетину графіка з віссю ОУ?

Щоб знайти координати точки перетину графіка з віссю ОУ, треба знайти значення функції в точці Х=0, тобто підставити Х=0 в аналітичну формулу, якою задана функція.

            Ви добре впорались з теоретичним матеріалом.

2.        Розвязування усних вправ.  Математична естафета.

 Знаходження похідних елементарних функцій.

Уміння працювати самостійно є дуже важливим і в навчанні, і в житті. Але, крім того, для досягнення успіху в житті потрібно мати друзів, партнерів. Тому під час виконання наступної роботи дозволяється здійснювати взаємодопомогу.

3.        Графічний диктант «Так чи ні?».

«Хоч слова «так» і «ні» короткі, все ж вони вимагають серйозних роздумів».

Піфагор

Властивості функцій. За даним графіком визначити правильне твердження чи ні.

Учні креслять трикутник з вершиною вгору, якщо твердження правильне і вершиною вниз, якщо неправильне.

Твердження для диктанту:

1)            Дана функція має три критичні точки;

2)            Функція має мінімум в точці х=5;

3)            Функція має максимум в точці х=-5;

4)            Функція зростає на проміжках [-5; 5] і [ 11;∞];

5)            Функція cпадає на проміжках [-∞;-5] і [5;11];

6)            Дана функція парна;

7)            Її графік симетричний відносно осі ОУ;

8)            Нулі функції: У= -3;

9)            На проміжках (-∞;-5) і (5;11)   f  '(х) < 0;

10) На проміжках (-5; 5) і ( 11;∞)  f  '(х) > 0.

 Український філософ,письменник Г. С. Сковорода писав: «Найкраща помилка та, яку допускають під час навчання». Дуже часто показником успіху в житті є не тільки кінцевий результат. А і процес його досягнення.

ІV Застосування знань, закріплення вмінь і навичок при розв’язуванні вправ.

«Теорія без практики мертва і безплідна, практика без теорії неможлива».  Рене Декарт.

Робота в групах.  Дидактична гра «Шифрувальники».

Учні об’єднуються в 2 команди. Кожна команда отримує графік функції. Необхідно «зашифрувати»  його за допомогою описування властивостей даної функції, достатніх для побудови графіка функції:

1)                                   Проміжки спадання;

2)                                   Проміжки зростання;

3)                                   Нулі функції;

4)                                   Координати точок максимуму;

5)                                   Координати точок мінімуму;

6)                                   Координати точки перетину графіка з віссю ОУ.

Команди обмінюються «шифровками» і кожна з команд за описаними властивостями функції будує її графік. Після цього побудований графік звіряється зі зразком.

За правильне «шифрування» члени команд отримують по 1 балу, за правильне розшифрування – по2 бали.

Самоперевіркаграфічного диктанту.

Фізкультхвилинка

VІ. Контроль  знань,  умінь і навичок учнів.

Учитель.  Працюючи разом, маючи поруч надійних партнерів, ви досягали успіху. Але і в житті, і в навчанні часто для цього треба вміти працювати без допомоги, самостійно. Щоб кожен міг з упевненістю сказати, що він досяг  успіху, необхідно самостійно працювати  над  виконанням аналогічних завдань. Адже китайська мудрість проголошує:

«Покажи мені – і я запам'ятаю. Дай мені  діяти самому – і я навчуся».

Диференційована самостійна робота.

Дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати її графік.

Учні самі вибирають завдання.

(Для учнів зі слабкими знаннями дозволяється допомога вчителя: за відповідь вчителя на кожне питання знімається 1 бал).

За правильно виконане завдання І або ІІ варіанту учень отримує 4 бали, а ІІІ або ІV – 6 балів.

VІІ.Підсумок уроку.

«Добре засвоєна мудрість не забувається ніколи». Піфагор.

Учитель.  Саме час повернутися до початку уроку, до мети, яку ми перед собою поставили. Поміркуйте, чи досягли ви її, чи відтворили знання про похідну, чи перевірили свої навчальні досягнення  під час виконання завдань? Чи змогли удосконалити свою компетентність з даного питання?

Крім того, треба дати відповідь на запитання: « Що допомагало нам досягти успіху?» Уміння аналізувати є дуже важливим у наш насичений інформацією час. Людиною, що вміє аналізувати, практично неможливо маніпулювати, вона завжди знайде вихід з будь-якої ситуації.

Учні відповідають на питання

Чидосягли мети уроку?

Чи виконали всі завдання уроку?

 «Пінг-понг», продовжують фрази:

Я навчилася…

Я зрозумів…

Я закріпила…

Я повторив…

                             

А тепер підведемо підсумок уроку в гумористичній формі. На екрані представлено графіки залежності рівня ваших знань від часу, в проміжку від початку першого уроку і до кінця другого. Будь ласка, виберіть за допомогою смайликів той графік, який, на ваш погляд, найбільше близький вам. Чи можна за цими графіками зробити висновок про швидкість приросту ваших знань під час уроку ?

Якщо більшість із вас вибрали графіки 1 або 2, то рівень ваших знань з теми значно зріс і наш урок досяг мети.

Оцінювання знань учнів.

«Корінь навчання гіркий, а плоди його солодкі».  Аристотель.

Учні рахують бали в аркуші оцінювання і оголошують вчителю, роблять самостійний аналіз власної роботи на уроці. Вчитель виставляє і коментує оцінки.

VІІІ.Домашнє завдання.

«Як крапля довбає камінь не силою, а частим падінням, так і людина стає вченою частим учінням». Дістервег.

Виберіть   домашнє  завдання відповідно до набраних балів.

Повторити теоретичні відомості з теми, підготуватися до контрольної роботи.

Дослідити функції за допомогою похідної та побудувати їх графіки:

І рівень.

ІІ рівень

ІІІ рівень

Поставтесь відповідально до виконання домашнього завдання, оскільки з повторенням кожного означення,  твердження,  формули,  з виконанням кожного завдання ви наближаєтесь до досягнення мети, до успішної здачі державної підсумкової атестації, що є дуже важливим для вас.

ІХ. Рефлексія.

Для взаємозв’язку вчителя з учнями використовується прийом «Скринька побажань».

Що сподобалося на уроці?

Що не сподобалося?

Що пропонуєш змінити?

Учні пишуть відповіді на аркушах і кладуть до скриньки.

Я переконалася, що ви – клас однодумців, які вміють застосовувати набуті знання, а це означає, що кожний з вас, як і сьогодні,  так і в майбутньому буде компетентний в певній галузі.

Думаю, уміння аналізувати ситуацію ще не раз стане вам у нагоді.

Усе людське життя – це не що інше, як постійне визначення мети та бажання досягти успіху під час розв'язування все нових завдань і проблем.

Тож учіть свій розум та душу бачити добро, і тоді дорогу до успіху буде для вас відкрито!

« НЕ МАХАЙ НА ВСЕ РУКОЮ, НЕ ЛІНУЙСЯ, А УЧИСЬ,

БО ЧОГО НАВЧИШСЯ В ШКОЛІ, ЗНАДОБИТЬСЯ ЩЕ КОЛИСЬ!»

Освіта from olgasamiltnko7